🎲

Olasılık Temelleri

İstatistiğin matematiksel temeli! Olasılık = bir olayın gerçekleşme şansı. Bu sayfa olasılığın temel kavramlarını hayattan örneklerle anlatır.

🎯 Olasılık Nedir?

📖 Tanım

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansının ölçümüdür. 0 (imkansız) ile 1 (kesin) arasında bir sayıdır.

P(A) = (A’nın gerçekleşme yolu sayısı) / (Tüm olası sonuç sayısı)

🎲 Klasik Örnekler

Zar atışı, 6 gelme: 1/6 ≈ 0.167 (16.7%)
Madeni para, tura gelme: 1/2 = 0.5 (50%)
52 kartlık desteden as çekme: 4/52 ≈ 0.077 (7.7%)
Pazartesi günü yağmur yağma (bir bölgede): 0.30 (tahmini)

📐 Olasılığın 3 Aksiyomu

Kolmogorov (1933) Aksiyomları

P(A) ≥ 0: Olasılık negatif olamaz
P(evren) = 1: Tüm olasılıkların toplamı 1
Birbirini dışlayan olaylar için: P(A veya B) = P(A) + P(B)

🎲 Olay Tipleri

📋 5 Tür

Kesin olay: P = 1 (örn. yarın güneş doğacak)
İmkansız olay: P = 0 (örn. madeni para “kenar” gelecek — neredeyse imkansız)
Eşit olası olaylar: Madeni para — yazı/tura
Birbirini dışlayan olaylar: Zar atışında 3 ve 5 aynı anda gelmez
Bağımsız olaylar: İlk zar atışı, ikinci zar atışını etkilemez

🎯 Bileşik Olasılıklar

“VE” Kuralı — İki Olayın Birlikte Olması

Bağımsız olaylar için:

P(A ve B) = P(A) × P(B)

Örnek: 2 madeni para at, ikisi de tura gelme:

P(tura ve tura) = 0.5 × 0.5 = 0.25

“VEYA” Kuralı — En az biri olması

Birbirini dışlayan olaylar için:

P(A veya B) = P(A) + P(B)

Örnek: Zar atışında 1 veya 6 gelme:

P(1 veya 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 ≈ 0.333

🎯 Koşullu Olasılık

📖 P(A | B) — “B verildiğinde A’nın olasılığı”

Yeni bilgi geldiğinde olasılık değişir.

Örnek: Sıradan bir 52’lik desteden kart çektin.

As çekme olasılığı: 4/52 ≈ 0.077
Eğer biri sana “Bu kart siyah” dediyse → siyah aslar: 2/26 ≈ 0.077 (aynı)
Eğer “Bu kart kupa” dediyse → kupa aslar: 1/13 ≈ 0.077 (yine aynı)

Bu örnekte değişmedi çünkü as ile renk bağımsız.

Başka örnek: Bir öğrencinin matematikten geçme olasılığı %70.

Sınava çalıştığı bilinirse: %85
Hiç çalışmadığı bilinirse: %30

Bu örnekte çalışma bilgisi olasılığı çok değiştirir.

📊 Bayes Teoremi

💡 Yeni Kanıtlarla Olasılığı Güncelleme

P(A | B) = [P(B | A) × P(A)] / P(B)

“B kanıtı verildiğinde A’nın olasılığı”

Tıbbi tanı örneği:

Bir hastalığın toplumdaki sıklığı %1. Tarama testi %99 doğru.

Test pozitif çıkarsa, hastalık olma olasılığı kaç?

İçgüdü: “%99” diyorsun. Ama gerçek:

1000 kişiyi düşün
10 hasta var, 990 sağlıklı
10 hastanın 9.9’u doğru pozitif (gerçek hasta)
990 sağlıklının 9.9’u yanlış pozitif
Toplam pozitif: 19.8
Pozitif çıkanların ne kadarı gerçekten hasta? 9.9/19.8 = %50

Bayes Teoremi olmadan bu sezgi-aldatıcı sonuca varamazdın.

🎲 Beklenen Değer

📊 Ortalama Sonuç

Bir tesadüfi olayı çok kez tekrarlasan, ortalama olarak ne çıkardı?

E(X) = Σ (xᵢ × P(xᵢ))

Örnek: 1 zar at, çıkan sayı kadar TL al. Ortalama kazanç:

E = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5 TL

Yani çok kez oynarsan, oyun başına 3.5 TL kazanacaksın.

📐 Olasılık Dağılımları

Dağılım	Ne Modelliyor?
Bernoulli	Tek bir 0/1 deneme (madeni para)
Binom	n adet 0/1 deneme (10 atışta kaç tura?)
Poisson	Birim zamanda kaç olay (saatte kaç müşteri?)
Normal	Doğal süreçler (boy, IQ)
Üstel	Olaylar arası süre (kaç dakikada bir müşteri?)

🌟 İstatistik ile Bağlantısı

🔗 İstatistik = Olasılığın Ters Yönü

Olasılık: Model biliniyor, sonuçları tahmin ediyoruz
İstatistik: Sonuçlar biliniyor, modeli çıkarmaya çalışıyoruz

İstatistik p-değeri hesaplarken olasılık dağılımı kullanır. Bu yüzden olasılık temeli olmadan ileri istatistik anlamak zor.

🔗 İlgili Konular

İstatistik Nedir?p-Değeri Normal Dağılım

📚 Kaynaklar:

Kolmogorov, A. N. (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: Springer.
Bayes, T. (1763). An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. Philosophical Transactions of the Royal Society, 53, 370–418.
Ross, S. (2014). A first course in probability (9th ed.). Pearson.